Урок изучения нового

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Мотивационно-ориентировочная часть.

- Здравствуйте, дети! Дома вы повторяли определения треугольника и квадрата а также формулы нахождения площадей этих фигур.

Итак, ХХХ, какой треугольник называется прямоугольным.

- Прямоугольным называется треугольник у которого один из углов прямой (равен 90º).

- По какой формуле находится площадь такого треугольника?

- Половина произведения катетов.

- А какая фигура называется квадратом?

- Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

- Верно! Пользуясь какой формулой мы находим его площадь.

- Площадь квадрата равна квадрату стороны.

- Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. Предметом нашего исследования будут прямоугольные треугольники. Назовите элементы прямоугольного треугольника?

- Стороны, прилежащие к прямому углу – катеты, а третья сторона – гипотенуза.

/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/

- Обратите внимание на левую доску. Что нам дано?

- На боковой доске даны изображения прямоугольных треугольников с указанными длинами сторон.

- Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

/заполнение таблицы. 1-й, 2-й, 3-й ряды ищут квадраты катетов и гипотенузы в 1-м, 2-м и 3-м треугольниках соответственно/

- Итак, на основе таблицы выявите связь между катетами и гипотенузой в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

– Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

- Совершенно верно. Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. Теорема эта, отражающая связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, называется теоремой Пифагора.

Давайте запишем её полную формулировку в тетрадях.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

/Историческая справка/

- Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. Пифагор, по-видимому, просто нашёл доказательство этого соотношения.

- Какова же тема нашего сегодняшнего урока, на ваш взгляд?

– Теорема Пифагора.

– Правильно. Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

/правая боковая сторона доски с треугольником/

- Нам дан прямоугольный треугольник АВС, ВС= a , АС= b и АВ=с, как показано на доске. Зарисуйте его себе в тетрадях.

Теперь запишем, что нам надо доказать.

ХХХ, что мы здесь запишем?

- с 2 = a 2 + b 2

/У. под диктовку ХХХ на доске, а дети в тетрадях записывают то, что надо доказать/

- Итак, записываем: Доказательство.

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a + b следующим образом.

Продолжим стороны АС и ВС за точки А и В соответственно, от точки А на продолжении стороны АС отложим отрезок, равный а, а от точки В на продолжении стороны ВС отрезок, равный b . Обозначим полученные точки D и E соответственно. Через Е проведём прямую, параллельную АС, а через точку D прямую, параллельную СВ. Обозначим точку пересечения проведённых прямых за F . От точки F на отрезке DF отложим отрезок, равный а, а на отрезке FE , отрезок, равный b . Обозначим получившиеся точки М и К соответственно. Проведём отрезки АМ, МК и ВК.

- Из каких фигур состоит полученный квадрат?

– Из 4-х треугольников и одного четырёхугольника.

– Как связаны между собой эти треугольники?

– Они равны.

– Почему?

– По первому признаку равенства треугольников. У каждого треугольника есть сторона равная a , сторона равная b и между ними в каждом из треугольников заключён угол равный 90º.

– Правильно. А что следует из этого равенства?

– Следует равенство соответствующих сторон и углов треугольников.

– Верно. Давайте полученные равные стороны в треугольниках я на доске вы в тетрадях отметим и обозначим за c . Какие же углы будут равными?

Для удобства обозначим углы цифрами 1-8 следующим образом.

Сейчас ХХХ будет называть нам равные углы, а вы их отмечайте на своих рисунках в тетрадях.

– Углы 1,3,5,7 и углы 2,4,6,8.

– Обратим внимание на четырёхугольник. Что нам о нём известно?

– У него все стороны равны.

– Чем может являться четырёхугольник, у которого все стороны равны?

– Ромбом или квадратом.

– Что ещё нам нужно узнать об этом четырёхугольнике, чтобы однозначно установить ромб это или квадрат.

– Нужно установить величины углов.

– Попробуйте это сделать.

– Каждый из углов четырёхугольника равен 180 минус сумма углов, например, 2 и 3, т. е. они равны 90, следовательно, данный четырёхугольник – квадрат.

– Чему равна площадь большего квадрата?

– ( a + b ) 2

– А как ещё можно найти эту площадь?

– Как сумму площадей фигур, входящих в его состав.

– Давайте найдём эти площади.

– Площадь маленького квадрата с 2 , а площадь каждого треугольника ( ab )/2.

– Таким образом чему равна площадь большого квадрата?

– с 2 +4( ab )/2 или с 2 +2( ab ).

– Итак, с одной стороны мы получили, что площадь большого квадрата равна ( a + b ) 2 , а с другой - с 2 +2( ab ). Т.е. получили равенство: ( a + b ) 2 = с 2 +2( ab ).

Упростите полученное равенство. Что у вас получилось? ХХХ?

– a 2 + b 2 =с 2 .

– А что требовалось доказать?

– Это и требовалось!

– Именно, т.о. теорема доказана. Каким методом мы пользовались при доказательстве этой теоремы?

– Мы пользовались методом площадей.

- В чём заключается суть данного метода?

- Суть данного метода состоит в том, что

– Давайте вспомним, какие типы теорем нам известны?

– Нам известны теоремы-признаки и теоремы-свойства.

– Свойством или признаком является теорема, доказанная нами только что?

– Теорема Пифагора – свойство прямоугольного треугольника.

– Какие задачи мы можем решать с помощью т.Пифагора?

– Можем находить 3 сторону в прямоугольном треугольнике по 2-м данным.

– Приведите пример такой задачи.

– В прямоугольном треугольнике даны катеты, найти гипотенузу.

– Давайте решим эту задачу. ХХХ, иди к доске!

/ХХХ послабже выбирается с последней парты к доске/

– Молодец, садись.